ЕГЭ-2016. Математика. Эксперт. Лаппо Л.Д., Попов М.А.
Предлагаемое пособие поможет выпускникам подготовиться к сдаче Единого государственного экзамена по математике. Книга содержит общие сведения о Едином государственном экзамене по математике, необходимый теоретический материал, тематические тестовые задания (более 1000 задач) по всем проверяемым элементам содержания, а также 38 вариантов типовых тестовых заданий, созданных по аналогии с заданиями ЕГЭ. Разделы пособия соответствуют плану экзаменационной работы ЕГЭ, а типы заданий - типам заданий, предлагаемых в контрольных измерительных материалах. Это даст возможность отработать как все темы в целом, так и только те, которые покажутся сложными. Тематические тестовые задания помогут закрепить изученный материал и устранить пробелы, а выполнение типовых тестовых заданий приблизит ситуацию к экзаменационной. Ко всем заданиям даны ответы, приведено решение четырех вариантов тестовых заданий, а также множество тематических тестовых заданий. Пособие рассчитано на выпускников средних школ, оно может быть также использовано учителями математики для подготовки учащихся к ЕГЭ.
Краткий теоретический курс | 8 |
1. Алгебра | 8 |
1.1. Числа, корни и степени | 8 |
Свойства корня п-тл степени | 9 |
Свойства степени | 10 |
1.2. Основы тригонометрии | 10 |
Основное тригонометрическое тождество и следствия из него | 11 |
Формулы приведения | 11 |
Формулы сложения | 12 |
Формулы двойного угла | 12 |
Формулы тройного угла | 12 |
Сумма и разность тригонометрических функций | 12 |
Разложение произведения тригонометрических функций в сумму | 13 |
Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла | 13 |
Формулы понижения степени | 13 |
1.3. Логарифмы | 14 |
Свойства логарифмов | 14 |
1.4. Модуль числа | 15 |
Свойства модуля | 15 |
2. Уравнения и неравенства | 16 |
2.1. Уравнения | 16 |
Теоремы о равносильности уравнений | 16 |
Методы решения уравнений | 17 |
Квадратные уравнения | 18 |
Решение квадратного уравнения | 18 |
Рациональные уравнения | 19 |
Системы уравнений с двумя неизвестными | 21 |
2.2. Неравенства | 23 |
Квадратные неравенства | 23 |
Рациональные неравенства | 25 |
Полезные соотношения при решении уравнений и неравенств | 26 |
3. Функции | 27 |
Линейная функция | 29 |
Гиперболическая функция | 29 |
Квадратичная функция | 31 |
Степенная функция | 32 |
Тригонометрические функции | 34 |
Показательная функция | 38 |
Логарифмическая функция | 39 |
4. Начала математического анализа | 40 |
4.1. Производная | 40 |
Производные элементарных функций | 40 |
4.2. Исследование функций | 41 |
4.3. Первообразная и интеграл | 42 |
Первообразные элементарных функций | 42 |
5. Геометрия | 45 |
5.1. Планиметрия | 45 |
Признаки равенства треугольников | 45 |
Признаки подобия треугольников | 45 |
Трапеция | 47 |
Правильные многоугольники | 48 |
Окружность | 48 |
Векторы | 50 |
5.2. Прямая и плоскость в пространстве | 51 |
Угол между прямой и плоскостью | 51 |
Угол между плоскостями. Двугранный угол | 51 |
Угол между скрещивающимися прямыми | 52 |
Расстояние между скрещивающимися прямыми | 52 |
Расстояние от точки до прямой | 52 |
5.3. Многогранники | 52 |
Призма | 52 |
Пирамида | 53 |
Правильные многогранники | 54 |
5.4. Тела вращения | 55 |
Прямой круговой цилиндр | 55 |
Прямой круговой конус | 56 |
Шар и сфера | 56 |
Учебно-тренировочные тесты | 59 |
Инструкция по выполнению работы | 59 |
Вариант 1 | 60 |
Вариант 2 | 64 |
Вариант 3 | 68 |
Вариант 4 | 72 |
Вариант 5 | 76 |
Вариант 5 | 72 |
Вариант 6 | 80 |
Вариант 7 | 84 |
Вариант 8 | 87 |
Вариант 9 | 90 |
Вариант 10 | 94 |
Вариант 11 | 97 |
Вариант 12 | 100 |
Вариант 13 | 103 |
Вариант 14 | 106 |
Вариант 15 | 109 |
Вариант 16 | 112 |
Вариант 17 | 115 |
Вариант 18 | 118 |
Вариант 19 | 121 |
Вариант 20 | 124 |
Вариант 21 | 127 |
Вариант 22 | 130 |
Вариант 23 | 133 |
Вариант 24 | 136 |
Вариант 25 | 139 |
Вариант 26 | 142 |
Вариант 27 | 145 |
Вариант 28 | 148 |
Вариант 29 | 151 |
Вариант 30 | 154 |
Вариант 31 | 157 |
Вариант 32 | 160 |
Вариант 33 | 163 |
Вариант 34 | 166 |
Вариант 35 | 169 |
Вариант 36 | 172 |
Вариант 37 | 175 |
Вариант 38 | 178 |
Сборник задач для подготовки к ЕГЭ | 181 |
1. Алгебра | 181 |
1.1. Числа, корни и степени | 181 |
1.2. Основы тригонометрии | 183 |
1.2.1. Тригонометрические функции произвольного угла | 183 |
1.2.2. Синус и косинус двойного угла | 184 |
1.2.3. Соотношения между тригонометрическими функциями | 184 |
1.2.4. Тригонометрические функции суммы и разности двух углов | 184 |
1.3. Логарифмы | 185 |
1.4. Преобразование выражений | 185 |
1.4.1. Выражения, включающие корни натуральной степени | 185 |
1.4.2. Выражения, включающие операцию возведения в степень | 187 |
1.4.3. Арифметические операции над выражениями, содержащими корни и степени | 189 |
1.4.4. Тригонометрические выражения | 191 |
1.4.5. Логарифмические выражения | 195 |
1.5. Текстовые задачи | 198 |
1.5.1. Проценты | 198 |
1.5.2. Соотношения между величинами | 202 |
2. Уравнения и неравенства | 204 |
2.1. Уравнения | 204 |
2.1.1. Иррациональные уравнения | 204 |
2.1.2. Тригонометрические уравнения | 205 |
2.1.3. Показательные уравнения | 206 |
2.1.4. Логарифмические уравнения | 207 |
2.1.5. Уравнения, содержащие модули | 207 |
2.1.6. Смешанные уравнения | 208 |
2.1.7. Параметрические уравнения повышенной сложности | 211 |
2.2. Системы уравнений | 212 |
2.2.1. Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными | 212 |
2.2.2. Системы квадратных уравнений | 214 |
2.2.3. Системы иррациональных уравнений | 214 |
2.2.4. Системы тригонометрических уравнений | 214 |
2.2.5. Системы показательных уравнений | 214 |
2.2.6. Системы логарифмических уравнений | 215 |
2.2.7. Смешанные системы уравнений | 215 |
2.2.8. Параметрические системы уравнений повышенной сложности | 217 |
2.3. Неравенства | 218 |
2.3.1. Квадратные неравенства | 218 |
2.3.2. Рациональные неравенства | 218 |
2.3.3. Показательные неравенства | 220 |
2.3.4. Логарифмические неравенства | 221 |
2.3.5. Смешанные неравенства | 221 |
2.3.6. Параметрические неравенства повышенной сложности | 221 |
2.4. Системы неравенств | 222 |
2.4.1. Системы рациональных неравенств | 222 |
2.4.2. Смешанные системы неравенств | 222 |
3. Функции | 223 |
3.1. Область определения функции | 223 |
3.2. Множество значений функции | 225 |
3.3. Нули функции | 226 |
3.4. Промежутки возрастания и убывания функции | 227 |
3.5. Четность и нечетность функции | 227 |
3.6. Наибольшее и наименьшее значение функции | 230 |
4. Начала математического анализа | 234 |
4.1. Производная функции | 234 |
4.1.1. Производная суммы, разности, произведения, частного двух и более функций | 234 |
4.1.2. Производная сложной функции | 235 |
4.1.3. Физический смысл производной | 237 |
4.1.4. Уравнение касательной к графику функции, геометрический смысл производной | 239 |
4.1.5. Применение производной для нахождения экстремумов функции | 242 |
4.2. Первообразная функции и интеграл | 251 |
4.2.1. Нахождение первообразных функций | 251 |
4.3. Геометрический смысл интеграла | 253 |
5. Геометрия | 255 |
5.1. Планиметрия | 255 |
5.1.1. Треугольник | 255 |
5.1.2. Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат | 258 |
5.1.3. Трапеция | 259 |
5.1.4. Окружность | 260 |
5.1.5. Выпуклые многоугольники | 261 |
5.1.6. Вписанные и описанные многоугольники | 261 |
5.1.7. Окружность, вписанная и описанная около многоугольника | 261 |
5.1.8. Разные задачи | 262 |
5.2. Стереометрия | 262 |
5.2.1. Многогранники | 262 |
5.2.1.1. Правильные многогранники | 262 |
5.2.1.2. Призма | 263 |
5.2.1.3. Пирамида | 266 |
5.2.1.4. Разные задачи | 271 |
5.2.2. Тела вращения | 271 |
5.2.2.1. Конус | 271 |
5.2.2.2. Шар и сфера, их сечения | 273 |
5.2.3. Комбинации тел | 273 |
Решение тренировочных тестов | 276 |
Решение варианта №5 | 276 |
Решение варианта №15 | 285 |
Решение варианта №25 | 291 |
Решение варианта №35 | 296 |
Решения к сборнику задач | 303 |
Ответы к тренировочным тестам | 315 |
Ответы к сборнику задач для подготовки к ЕГЭ | 329 |
Начиная с 2015 года ЕГЭ по математике разделён на 2 уровня: базовый и профильный. Данное пособие предназначено для фундаментальной подготовки к Единому государственному экзамену по математике на обоих уровнях. Книга будет полезна учащимся выпускных классов, учителям, а также тем, кто собирается сдавать ЕГЭ после перерыва в обучении.
Книга состоит из 26 параграфов, каждый из которых посвящен одной из тем экзаменационной работы. Параграфы, в которых рассматриваются задания с кратким ответом, содержат:
• краткие теоретические сведения, необходимые для успешного выполнения заданий.
• набор заданий, аналогичных встречавшимся в экзаменационных работах. За каждым заданием, снабжённым решением, даётся несколько примеров для самостоятельного выполнения.
• задания для контроля: 4 варианта по 5 заданий в каждом.
Параграфы, в которых рассматриваются задания с развёрнутым ответом, имеют более простую структуру: там отсутствуют теоретические сведения и задания для контроля. Необходимую для работы с этими параграфами теорию можно повторить, используя один из справочников (карманный или большой), выпускаемых отдельно (см. ниже описание комплекса).